Matematyczne cienie kryją wiele tajemnic

Tegoroczny laureat grantu ERC Starting Grant, dr Damian Dąbrowski, jest matematykiem specjalizującym się w geometrycznej teorii miary i analizie harmonicznej. Doktorat obronił w 2021 roku na Uniwersytecie Autonomicznym w Barcelonie. Następnie odbył czteroletni staż podoktorski na Uniwersytecie w Jyväskylä (Finlandia). Od października 2025 roku rozpocznie pracę jako adiunkt w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk. 

O projekcie:

Wyobraźmy sobie następującą grę: siedzimy naprzeciwko białej zasłony, za zasłoną schowany jest nieznany nam przedmiot, a za przedmiotem stoi lampa. Pstryk: lampa zostaje włączona, a schowany przedmiot rzuca cień na zasłonę. Celem gry jest jak najlepiej opisać przedmiot na podstawie jego cienia.

To dość karkołomne zadanie: wiele bardzo różnych przedmiotów może rzucać taki sam cień. Na przykład, cień długiego drążka skierowanego prostopadle do zasłony to małe kółeczko, podobne do cienia małej kulki albo jednogroszowej monety.

Zmodyfikujmy więc naszą grę: obok nas stoi prosty kontroler pozwalający nam obracać schowany przedmiot, dzięki czemu możemy poznać cień naszego przedmiotu z wielu różnych stron. Cel gry: jak najlepiej opisać schowany przedmiot używając jak najmniej obrotów. Ile obrotów potrzeba, aby dokładnie określić rozmiar przedmiotu? Jego kształt? Jego strukturę?

Celem projektu QPROJECT realizowanego w ramach grantu ERC jest znalezienie odpowiedzi na pytania tego typu. W terminologii matematycznej cień obiektu nazywany jest rzutem. Matematycy od prawie stu lat badają związki między rozmiarem rzutów a różnymi właściwościami rzutowanych obiektów. Podczas gdy większość klasycznych twierdzeń w tej dziedzinie ma charakter jakościowy, w QPROJECT dowodzone będą dużo dokładniejsze oszacowania prowadzące do wyników ilościowych. Głównym celem jest rozwiązanie trzech hipotez na temat rzutów: hipotezy Wituszkina, hipotezy Besicovitcha o rzutach radialnych oraz hipotezy widoczności.

Na zdjęciu: dr Damian Dąbrowski/dzięki uprzejmości The University of Jyväskylä.